Оператор на д'Аламбер

В специалната теория на относителността, електромагнетизма и теорията на вълните, операторът на д'Аламбер (обозначаван с кутийка: $\Box$), също наричан д'Аламбертиан или вълнов оператор, е лапласиан в пространството на Минковски. Операторът е наречен в чест на френския математик и физик Жан льо Рон д'Аламбер.

В пространство на Минковски и в стандартни координати Шаблон:Math има следната форма:

${\begin{aligned}\Box &=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=g^{\mu \nu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\Delta ~~.\end{aligned}}$

Тук ∇² е триизмерен лапласиан, а Шаблон:Math е обратната метрика на Минковски с

$g_{00}=1$, $g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1$, $g_{\mu \nu }=0$ for $\mu \neq \nu$.

Трябва да се отбележи, че показателите за сума на Шаблон:Math и Шаблон:Math са в диапазона от 0 до 3. Взети са такива единици предвид, че скоростта на светлината Шаблон:Mvar = 1.

Някои автори също така използват отрицателната метрична сигнатура от Шаблон:Nowrap, с $g_{00}=-1,\;g_{11}=g_{22}=g_{33}=1$.

Трансформациите на Лоренц оставят метриката на Минковски инвариантна, така че д'Аламбертианът дава Лоренцов скалар. По-горният координатен израз остава валиден за стандартни координати във всяка инерционна система.

Алтернативна нотация

Има различни нотации за д'Аламбертиана. Най-честото означение е със символа $\Box$: четирите страни на квадрата представляват четирите измерения на пространство-времето и $\Box ^{2}$, който подчертава скаларното свойство. Символът понякога се нарича квабла (по аналогия с набла). Придържайки се към триъгълната нотация на лапласиана, понякога се използва и нотацията ∆_M.

Друг начин за изписване на д'Аламбертиана в стандартни координати е с ∂². Тази нотация се използва основно в квантовата теория на полето, където частните производни обикновено се индексират.

Приложение

Уравнението на вълната за малки вибрации има вида:

$\Box _{c}u\left(x,t\right)\equiv u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0~,$

където Шаблон:Math е преместването.

Уравнението на вълната за електромагнитно поле във вакуум е:

$\Box A^{\mu }=0$,

където Шаблон:Math е електромагнитният 4-потенциал.

Уравнението на Клайн – Гордън има вида:

$(\Box +m^{2})\psi =0~$.

Функция на Грийн

Функцията на Грийн $G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)$ за д'Аламбертиана е дефинирана от уравнението:

$\Box G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)=\delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)$

където Шаблон:Math е многоизмерната делта функция на Дирак, а Шаблон:Overset и Шаблон:Overset' са две точки в пространството на Минковски.

Специално решение се получава от забавената функция на Грийн, която съответства на разпространението на сигнал само напред във времето:

$G\left({\vec {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi r}}\Theta (t)\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)~~~$,

където Θ е функцията на Хевисайд.

Запис в криволинейни координати

Операторът на д'Аламбер в сферични координати:

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \Theta }}{\frac {\partial }{\partial \Theta }}\left(\sin \Theta {\frac {\partial u}{\partial \Theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\Theta }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};$

в цилиндрични координати:

${\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial u}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}};$

в общи криволинейни координати (за пространство-време):

$\square u\equiv {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\left({\sqrt {-g}}\,g^{\mu \nu }{\frac {\partial u}{\partial x^{\mu }}}\right),$

където $g$ е детерминанта на матрицата $\|g_{\mu \nu }\|$, съставена от коефициентите на метричния тензор $g_{\mu \nu }$.

Вижте също

• 4-градиент