Преглед на кода на Триъгълно число

[[Файл:First_six_triangular_numbers.svg|мини|Първите шест триъгълни числа]]
'''Триъгълно число'''<ref>[http://nauka.offnews.bg/news/Matematika_18/Kak-da-prebroim-chislata-bez-da-gi-broim-ili-zashto-matematikata-e-kr_71339.html Как да преброим числата, без да ги броим или защо математиката е красива]</ref> е общият брой еднакви елементи, които подредени образуват [[равностранен триъгълник]], като в схемата в дясно. Триъгълното число ''n'' е сумата на точките в равностранен триъгълник със страни ''n'' точки и е равно на сумата от първите ''n'' [[Естествено число|естествени числа]]. [[Нула|Числото 0]] („нулево триъгълно число“) също се приема за триъгълно число на триъгълник със страна 0. Първите 36 триъгълни числа (последователност [[oeis:A000217|A000217]] в [https://oeis.org/ OEIS]) са:
: [[1 (число)|1]], [[3 (число)|3]], [[6 (число)|6]], [[10 (число)|10]], [[15 (число)|15]], [[21 (число)|21]], [[28 (число)|28]], [[36 (число)|36]], [[45 (число)|45]], [[55 (число)|55]], [[66 (число)|66]], [[78 (число)|78]], [[91 (число)|91]], 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, …

== Формула ==
Точната формула за триъгълно число е:
:<math> T_n = \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2}</math>,
където <math>\textstyle {n+1 \choose 2}</math> е [[Биномен коефициент|биномен коефицент]]. Той представлява броят на неповтарящите се двойки, които могат да бъдат избрани от ''n'' + 1 елемента.

Първото уравнение може да се илюстрира с помощта на следното доказателство.<ref>{{cite web|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/triangular-numbers.html|title=Triangular Number Sequence|publisher=Math Is Fun}}</ref> За всяко триъгълно число <math>T_n</math> си представете полу-квадратно разположение на елементите, съответстващи на триъгълното число, като на фигурата по-долу. Копирайте тази подредба и я завъртете, създавайки правоъгълник с удвоен брой елементи, с размери <math>T_n</math>. Триъгълното число е винаги точно половината от броя на елементите в такава фигура, или: <math>T_n = \frac{n(n+1)}{2} </math>. Например <math>T_4</math> се илюстрира по следния начин:
{| cellpadding="7"
|<math> 2T_4 = 4(4+1) = 20 </math> (зелени плюс жълти) означава, че <math>T_4 = \frac{4(4+1)}{2} = 10 </math> (зелени).
|[[Файл:Illustration_of_Triangular_Number_T_4_Leading_to_a_Rectangle.png]]
|}

За доказателство се използва и [[Математическа индукция|математическата индукция]].<ref>Andrews, George E. ''Number Theory'', Dover, New York, 1971. pp. 3-4. </ref>

== Връзка към други фигурни числа ==
Триъгълните числа имат широк спектър от връзки с другите [[Фигурно число|фигурни числа]].
* Произведението на две последователни естествени числа е [[правоъгълно число]].
<math> P_n = {n(n+1)} = {n^2+n} = T_n \times 2</math>

Така ''n-''тото правоъгълно число е двойно по-голямо от ''n''-тото триъгълно число.
* Сумата от две последователни триъгълни числа е [[квадратно число]]. То е равно на квадрата от разликата на двете числа (следователно разликата в двете е корен квадратен от сумата). Алгебрически:
:<math>T_n + T_{n-1} = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{\left(n-1\right)^2}{2} + \frac{n-1}{2} \right) = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} \right) = n^2 = (T_n - T_{n-1})^2</math>

Графично това се представя така:
{| cellpadding="7"
|6 + 10 = 16
|[[Файл:Square_number_16_as_sum_of_two_triangular_numbers.svg]]
|10 + 15 = 25
|[[Файл:Square_number_25_as_sum_of_two_triangular_numbers.svg]]
|}
Има безкрайно количество триъгълни числа, които са едновременно и квадратни числа; например: 1, 36, 1225. Някои от тях могат да бъдат получени с помощта на обикновена рекурсивна формула:
:<math>S_{n+1} = 4S_n \left(8S_n + 1\right)</math> с <math>S_1 = 1.</math>

Всички квадратни триъгълни числа се намират от рекурсията:
:<math>S_n = 34S_{n-1} - S_{n-2} + 2</math> с <math>S_0 = 0</math> и <math>S_1 = 1</math>
* Сборът на първите ''n'' на брой триъгълни числа прави ''n''-тото [[тетраедрално число]], като има само 5 триъгълни числа, които са същевременно и тетраедрални:<ref>[https://oeis.org/A027568 Последователност A027568 в OEIS]</ref>
:[[1 (число)|1]], [[10 (число)|10]], [[120 (число)|120]], [[1540 (число)|1540]] и [[7140 (число)|7140]].

== Триъгълни репдиджит числа ==
[[Репдиджит]] е естествено число, състоящо се само от една и съща [[цифра]].

Според последователност [[oeis:A045914|A045914]] в [https://oeis.org/ OEIS] има само 7 числа, които са едновременно триъгълни и репдиджит:

: 0, 1, 3, 6, 55, 66, 666

В случая участват и едноцифрени числа, защото технически те са репдиджит само от една цифра.

== Вижте също ==
* [[Правоъгълно число]]
* [[Квадратно число]]
* [[Тетраедрално число]]

== Източници ==
<references/>

{{Превод от|en|Triangular number|821645269}}

[[Категория:Числови редици]]
[[Категория:Триъгълници]]