Преглед на кода на Производна

{{без източници}}
[[Файл:Tangent to a curve.svg|мини|200px|Графиката на функция (в черно) и [[допирателна]]та (в червено). [[Диференчно частно|Диференчното частно]] на допирателната е равно на производната в дадената точка.]]

'''Производна на функция''' е основно понятие в диференциалното смятане, което характеризира скоростта на изменение на [[функция]]та. Функция, която има производна, се нарича '''диференцируема'''. Понятието е въведено от Нютон и Лайбниц независимо един от друг.

== Определение ==
Нека функцията ''y'' = ''f''(''x'') е дефинирана в точка ''x''<sub>0</sub> от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се Δx) в този случай се определя като x−x<sub>0</sub>, а нарастването на функцията (Δy) – като ''f(x)−f(x<sub>0</sub>)''. Тогава, ако съществува [[граница (математика)|граница]] <math>\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}</math>, то тя се нарича '''производна''' на функцията ''f''(''x'') в точката ''x''<sub>0</sub>.

Частното <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> се нарича '''[[диференчно частно]]'''.

С други думи производна на функцията ''f(x'') за дадена стойност (''x''<sub>0</sub>) се нарича границата (ако съществува) на отношението на нарастването на функцията и нарастването на аргумента ''х'', когато нарастването на аргумента клони към 0 <math>{(\Delta x\rightarrow 0})</math>.

Функция, която има производна в точка ''x'', се нарича диференцируема в точка ''x''. Математическото действие, с което се намира производната на една функция, се нарича ''диференциране''.

== Означения при диференциране ==
Съществуват различни начини за означаване на производните при диференциране.

=== Означение на [[Готфрид Лайбниц|Лайбниц]] ===
Означението за производна представено от [[Готфрид Лайбниц]] е едно от първите. То все още се използва когато уравнението ''y''&nbsp;=&nbsp;ƒ(''x'') се разглежда като функционална зависимост между зависимите и независимите променливи. Първата производна се означава:

:<math> \frac{dy}{dx} </math> (произнася се „де игрек де хикс“)

=== Означение на [[Жозеф Луи Лагранж|Лагранж]] ===
Една от най-разпространените означения при диференциране е дело на [[Жозеф Луи Лагранж]]. Първата производна се означава:

:<math>f'(x)\,</math> (произнася се „еф прим хикс“)

=== Означение на [[Исак Нютон|Нютон]] ===
:<math>\dot{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t)</math>, <math>\ddot{x} = x''(t)</math>

=== Означение на [[Ойлер]] ===
:<math>D_x f(x) \;</math> – за първа производна,
: <math>{D_x}^2 f(x) \;</math> – за втора производна, и
: <math>{D_x}^n f(x) \;</math> – за ''n''-та производна при ''n'' > 1

== Изчисляване на производни ==
=== Правила за диференциране ===
# Ако k е константа, то (ku)′ = ku′.
# (u+v)′ = u′+v′. Доказателство: Δ(u+v) = u(x+Δx)+v(x+Δx)−u(x)−v(x) = (u(x+Δx)−u(x))+(v(x+Δx)−v(x)) = Δu+Δv.
# (u · v)′ = u′ · v + u · v′. Доказателство: Δ(u · v) → u(x + Δx) · v(x + Δx) – u(x) · v(x) → (u(x) + Δu) · (v(x) + Δv) – u(x) · v(x) → u(x) · v(x) + u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv – u(x) · v(x) → u(x) · Δv + v(x) · Δu + Δu · Δv. (границата е равна на u′ · v + u · v′).
# <math>(h(g(x)))' = h'[g(x)] g'(x)</math>
# (uv)<sup>(n)</sup>=<math>\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}</math> – [[формула на Лайбниц]].
# (u/v)′ = (u′v−uv′)/v<sup>2</sup>. Доказателство: Δ(u/v) = u(x + Δx) / v(x + Δx) − u(x) / v(x) = (u(x + Δx)v(x) − u(x)v(x + Δx)) / (v(x)v(x + Δx)) =
(u(x + Δx)v(x) − u(x)v(x) − u(x)v(x + Δx) + u(x)v(x)) / (v(x)v(x + Δx)) =
(Δu(x)v(x) – u(x)Δv(x)) / (v(x)v(x + Δx)), границата е равна на (u′v−uv′)/v<sup>2</sup>.

=== Производни на някои функции ===
{{Основна|Таблица на производни}}
# <math>const' = 0</math> ([[константа]]), защото нарастването на всяка константа е 0.
# (''a''<sup>x</sup>)′ = a<sup>x</sup> ln a, в частност, (e<sup>x</sup>)′ = e<sup>x</sup>
# (log<sub>a</sub>x)′ = 1/(x ln a) ([[логаритъм]]), в частност, (ln x)′ = 1/x
# (x<sup>a</sup>)′ = ax<sup>a−1</sup>
# <math>(\sqrt{x})^' = \frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
# (sin x)′ = cos x ([[Синус (математика)|синус]])
# (cos x)′ = −sin x ([[косинус]])
# (tg x)′ = <math>\frac{1}{\cos^{2}x}</math> ([[тангенс]])
# (cotg x)′ = <math>-\frac{1}{\sin^{2}x}</math> ([[котангенс]])
# (arcsin x)′ = <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}</math> ([[аркуссинус]])
# (arccos x)′ = <math>-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}</math> ([[аркускосинус]])
# (arctg x)′ = <math>\frac{1}{1+x^{2}}</math> ([[аркустангенс]])
# (arcctg x)′ = <math>-\frac{1}{1+x^{2}}</math> ([[аркускотангенс]])

=== Примерно пресмятане ===
Производната на функцията

: <math>f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\,</math>

е равна на:

: <math>
\begin{align}
f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos (x^2) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln{x} \frac{d\left(e^x\right)}{dx} + 0 \\
      &= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x.
\end{align}
</math>

== Смисъл на понятието ==
Ако разгледаме скоростта на движение на едно тяло или дебита на една водна тръба или какъвто и да е друг показател, можем да изчислим средното изменение на показателя за определен интервал от време. Ако разгледаме едно тяло и крайните точки на времевия интервал са ''t'' и (''t''<sub>0</sub>), то средната скорост на тялото ще е изменението в изминатия път към (''t''- ''t''<sub>0</sub>) (''v'' = ''s/t''). Колкото по-малък е този времеви интервал, толкова по-близо ще сме до дефиниране на скоростта в момента ''t''<sub>0</sub>.

== Геометричен и физически смисъл на производната ==
=== Геометрично представяне на понятието ===
Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към графиката ѝ в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос.

=== Скорост на изменението на функцията път ===
Нека <math>s = s(t)</math> е законът за пътя на праволинейното равномерно движение. Тогава <math>v(t_0) = s'(t_0)</math> изразява '''моментната скорост''' на движението в момента от времето <math>t_0.</math> Втората производна <math>a(t_0) = s''(t_0)</math> изразява '''ускорението''' в момента <math>t_0.</math>

Въобще производната на функцията <math>y = f(x)</math> в точката <math>x_0</math> изразява скоростта на изменение на функцията в точката <math>x_0</math>.

== Производни от по-висок ред ==
Нека ''f''(''x'') е диференцуема функция и ''f''′(''x'') е нейната производна. Производната на ''f''′(''x'') (ако съществува) се означава като ''f''′'(''x'') и се нарича '''втора производна''' на ''f''(''x''). Също така производната на втората производна (ако съществува) се нарича '''трета производна'''. За някои функции този процес продължава и те имат четвърта и т.н. – '''производни от по-висок ред'''.

Функцията ''f'' може да няма производна – например, ако не е непрекъсната. Тогава тя може да няма и втора производна. Например нека

:<math> f(x) = \begin{cases} x^2, & \mbox{if }x\ge 0 \\ -x^2, & \mbox{if }x \le 0\end{cases}.</math>

Елементарно пресмятане показва, че ''f'' е диференцуема функция, чиято производна е

:<math>f'(x) = \begin{cases} 2x, & \mbox{if }x\ge 0 \\ -2x, & \mbox{if }x \le 0\end{cases}</math>.

''f''′(''x'') няма производна в нулата. Подобни примери показват, че една функция може да има ''k'' производни за някакво цяло неотрицателно ''k'', но да няма производна от (''k'' + 1)-ви ред.

== Вижте също ==
* [[Функция]]
* [[Граница (математика)]]
* [[Интеграл]]

[[Категория:Математически анализ]]