Преглед на кода на Нютонов бином

{{без източници}}
'''Биномната теорема''' е [[математика|математическа]] [[теорема]] за разлагането на [[двучлен]], повдигнат на [[степен]]. 

Опростената форма на теоремата за естествени стойности на степента е:

:<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ky^{n-k}</math>

където ''n'' е [[естествено число]] и

:<math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math>

са [[биномен коефициент|биномните коефициенти]], а <math>n!</math> е [[факториел]] на ''n''. 

Тази формула обикновено е приписвана на [[Блез Паскал]], който я описва през [[17 век]]. Всъщност тя е известна още на китайския математик [[Ян Хуй]] през [[13 век]], на иранския математик [[Омар Хаям]] през [[11 век]] и дори на индийския математик [[Пингала]] през [[3 век пр.н.е.]] [[Исак Нютон]] прави важно обобщение на формулата за произволна степен:

:<math>{(x+y)^r=\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^k y^{r-k}}</math>

където ''r'' е произволно [[комплексно число]] и коефициентите се получават с

:<math>{r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n),</math>

като по определение ''k!'' е [[факториел]]ът на ''k'', и ''0!'' &nbsp;=&nbsp;1.
==Формули за съкратено умножение==
Формулите за съкратено умножение са биноми повдигнати на дадена степен като тяхното решаване става по посочените горе математически формули.
===Формула от вида (а+b)<sup>5</sup>===
Директно решение:
(a+b)<sup>5</sup>=(a+b)<sup>3</sup>.(a+b)<sup>2</sup>=
(a<sup>3</sup> + 3a<sup>2</sup>b + 3ab<sup>2</sup> + b<sup>3</sup>).(a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>)=
a<sup>5</sup> + 2a<sup>4</sup>b + a<sup>3</sup>b<sup>2</sup> + 3a<sup>4</sup>b + 6a<sup>3</sup>b<sup>2</sup> + 3a<sup>3</sup>b<sup>3</sup> + 3a<sup>3</sup>b<sup>2</sup> + 6a<sup>2</sup>b<sup>3</sup> +3ab<sup>4</sup> + a<sup>2</sup>b<sup>3</sup> + 2ab<sup>4</sup> + b<sup>5</sup> = 
'''a<sup>5</sup> + 5a<sup>4</sup>b + 10a<sup>3</sup>b<sup>2</sup> + 10a<sup>2</sup>b<sup>3</sup> +5ab<sup>4</sup> + b<sup>5</sup>.'''

Решение с използването на '''Нютоновия бином''':
:<math>(a+b)^5 = \sum_{i=0}^5  {5 \choose i} a^ib^{5-i} =</math>
::<math> = {5 \choose 0} a^0b^{5-0} + {5 \choose 1} a^1b^{5-1} + {5 \choose 2} a^2b^{5-2} + {5 \choose 3} a^3b^{5-3} + {5 \choose 4} a^4b^{5-4} + {5 \choose 5} a^5b^{5-5} =</math>
::<math> = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5 ab^4 + b^5 \,</math>
т.е. същата формула, но по много по-лесен начин.

<math>n \choose k</math> е комбинация на k между n елемента, т.е. <math>{n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>, например, <math>{5 \choose 3} =  {5! \over 3!2!} = 10</math>

{{превод от|en|Binomial theorem|84660323}}

[[Категория:Алгебра]]
[[Категория:Теория на числата]]