Преглед на кода на Математическо очакване

{{обработка|форматиране, редакция и допълване}}

В [[математика]]та, и по-точно в [[Теория на вероятностите|теорията на вероятностите]] и [[статистика]]та, '''математическото очакване''' представлява характеристична стойност на [[Вероятностно разпределение|вероятностното разпределение]] на една [[случайна величина]]. Математическото очакване се базира на теорията на абстрактния [[интеграл на Лебег]]. Може да се интерпретира като „средна стойност“ на дадена случайна величина, въпреки че тази стойност може да не бъде възможен неин изход. Математическото очакване не бива да се бърка с „най-вероятен изход“ от случайния експеримент.


== Дефиниция ==
=== Означение ===
С <math>\mathfrak{L}_1</math> = <math>\mathfrak{L}_1(\Omega, \mathfrak{A}, P)</math> се означава [[множество]]то на интегрируемите по Лебег случайни величини, дефинирани върху [[Вероятносно пространство|вероятностното пространство]] (<math>\Omega, \mathfrak{A}, P</math>).

Нека <math>X \in \mathfrak{L}_1</math>.Тогава [[интеграл]]ът
<math>E(X) = \int\limits_{\Omega}^{}X(\omega)\, dP(\omega)</math> се нарича '''математическо очакване''' на случайната величина <math>X</math>.
Впоследствие се разглеждат два специални случая, които са разискани по-долу.

=== Математическо очакване на прекъсната случайна величина ===
<math>X</math> е дискретна случайна величина, т.е. <math>P(\{X \in D\})=1</math>, за едно изброимо множество <math>D \subset \R</math>.
<math>X \in \mathfrak{L}_1</math> тогава и само тогава, когато <math>\sum_{x \in D}^{} |x|\cdot P(\{X = x\}) < \infty</math> . В случай че това е в сила, следва
<math>E(X) = \sum_{x \in D}^{} x\cdot P(\{X = x\})</math> .

=== Математическо очакване на непрекъсната случайна величина ===
<math>X</math> е [[Непрекъснатост|непрекъсната]] случайна величина с плътност на разпределението <math>f_X</math>.
<math>X \in \mathfrak{L}_1</math> тогава и само тогава, когато <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}|x|\cdot f_X(x)\, dx < \infty</math>. В случай, че това е в сила, следва <math>E(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}x\cdot f_X(x)\, dx</math> .

== Свойства ==
Математическото очакване представлява [[функция]] <math>E : \mathfrak{L}_1 \rightarrow \R</math> със следните свойства:

* Ако <math>c \in \R</math> е константа, то тогава <math>E(c) = c </math>.

* За <math>X,Y \in \mathfrak{L}_1</math> и <math>\alpha, \beta \in \R</math> важи
<math>E(\alpha X + \beta Y) = \alpha E(X) + \beta E(Y) </math>. ('''линейност''')

* Ако важи <math>X \le Y</math> за две случайни величини X и Y, то тогава следва
<math>E(X) \le E(Y)</math>. ('''монотонност''')

== Примери ==
=== Пример 1. ===
Нека <math> X \sim \mathbb{B}(n,p)</math> бъде една [[Биномно разпределение|биномно разпределена]] случайна величина с [[Параметър|параметри]] <math>n \in \mathbb{N}</math> и <math>p \in [0,1]</math>. Тогава математическото очакване на X e <math>E(X)=n\cdot p</math> .

:'''Доказателство''':
Разглеждаме <math>X_1, \ldots, X_n</math> независими и еднакво разпределени случайни величини с <math>X_1 \sim \mathbb{B}(1,p)</math> (<math>X_1</math> е [[Разпределение на Бернули|Бернули-разпределена]] с параметър <math>p</math>).Тъй като <math>D = \{0,1\}</math> е изброимо множество, попадаме в първи случай, разгледан в дефиницията по-горе. Тогава
<math>E(X_1) = \sum_{x \in D}^{} |x|\cdot P(\{X_1 = x\}) = \sum_{x \in \{0,1\}}^{} x\cdot P(\{X_1 = x\}) </math>
<math> = \sum_{k=0}^1 k\cdot P(\{X_1 = k\}) = 0\cdot P(\{X_1 = 0\} + 1\cdot P(\{X_1 = 1\} = 0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p < \infty.</math>

Дефинирайте <math>X := \sum_{i=1}^{n} X_i</math>. Тогава <math>X \sim \mathbb{B}(n,p)</math> и с помощта на линейността на математическото очакване получаваме <math>E(X) = E(\sum_{i=1}^{n} X_i) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i)  \overset{\underset{\mathrm{iid}}{}}{=}  n\cdot E(X_1) = n\cdot p</math> .

=== Еднократно хвърляне на зар. Стохастичен модел на случайния експеримент ===
:<math>\Omega := \{1, \ldots, 6\}</math>
:<math>\mathfrak{A} := \mathfrak{P}(\Omega)</math>
:<math>P</math> : равномерно разпределение върху <math>\mathfrak{A}</math>.
Дефинираме една случайна величина <math>X</math>:
<math>X(\omega) := \omega</math>, която ще описва изхода от хвърлянето. Тогава имаме <math>P(\{X = k\}) = \frac{1}{6}</math> за <math>k \in \{1, \ldots, 6\}</math>. С това <math>E(X) = \sum_{k \in \{1, \ldots, 6\}}^{} k \cdot P(\{X=k\}) = \sum_{k=1}^{6} k \cdot P(\{X=k\})
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) \cdot \frac{1}{6} = 3,5</math>.

== Източници ==
<references />
* Georgii, Hans-Otto (2008). „Stochastics“, ''Gruyter'', ISBN 10: 3110191458
* Krengel, U. (2005). „Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik“, ''Vieweg''
* Irle, A. (2005). „Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik“, ''Teubner''

[[Категория:Теория на вероятностите]]
[[Категория:Средни стойности]]