Преглед на кода на Експоненциална функция

{{без източници}}
[[Файл:exp.svg|мини|200px|Експоненциалната функция <math>y = e^x</math>]]
В математиката, експоненциалната функция е тази [[функция]], която е равна на собствената си [[производна]]. Бележи се с ''e''<sup>''x''</sup>, където ''е'' е [[Неперово число|Ойлеровото число]] (равно приблизително на 2.718). Използва се за изразяване на функционална връзка, при която фиксирана промяна в абсолютната стойност на [[функция|независимата променлива]] води до фиксирана пропорционална промяна (т.е. процентно увеличение или намаляване) в стойността на функцията. Експоненциалната функцията често се бележи с exp(''x''), особено когато е неудобно изписването на зависимата променлива като [[Степенуване (математика)|степенен показател]]. Експоненциалната функция има широка употреба във [[физика]]та, [[химия]]та и [[математика]]та.

Графиката на функцията ''y ''= ''e''<sup>''x''</sup> е растяща и се увеличава по-бързо с нарастването на ''x''. Функцията е положителна за всички стойности на ''x'', но може да приема стойности произволно близки до нулата (при отрицателни стойности на ''x''), което значи, че [[абсциса]]та е хоризонтална асимптота на експоненциалната функция. Производната на експоненциалната функция във всяка точка е равна на самата функция. Обратната функция на експоненциалната функция е естественият логаритъм ln(''x'').

== Дефиниция ==
[[Файл:Exp series.gif|мини|Експоненциалната функция (в синьо), и сбора на първите ''n''&nbsp;+&nbsp;1 члена на степенния ред вляво (в червено).]]

Експоненциалната функция може да бъде дефинирана по няколко еквивалентни начина. Често използвана дефиниция е следният [[степенен ред]]:

: <math>e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots. </math>

Тази дефиниция важи както за [[реални числа|реални]] така и за [[комплексни числа|комплексни]] числа. Еквивалентна дефиниция е следната [[граница (математика)|граница]]:

: <math>e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.</math>

== Свойства ==
Изхождайки от горните определения, може да се докаже, че за експоненциалната функция важи [[Степенуване (математика)|степенното]] равенство:

:<math>\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y),</math>

за всички ''x'' и ''y''. Експоненциалната функция е решение на [[диференциално уравнение|диференциалното уравнение]]:

: <math>\,{d \over dx} e^x = e^x.</math>

Това свойство на експоненциалната функция ѝ дава широко приложение в природните науки.

{{превод от|en|Exponential function|513257572}}

[[Категория:Специални функции]]