Преглед на кода на Гама-функция

[[Файл:Gamma plot.svg|мини|325п|Гама-функция по дължина на част от реалната ос.]]

В [[математика]]та, '''гама-функция''' ({{math|'''Γ'''}}) е разширение на [[факториел]]ната функция до множеството на [[Комплексно число|комплексните]] числа. Ако {{math|''n''}} е положително цяло число, то

:<math>\Gamma(n) = (n-1)!</math>

Гама-функцията е определена за всички комплекси числа, с изключение за неположителните числа. За комплексни числа с положителна реална част, тя се определя чрез сходящ [[несобствен интеграл]]:

:<math> \Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx</math>

Тази интегрална функция се разширява чрез [[аналитично продължение]] до всички комплексни числа, освен за неположителни числа (където функцията има прости полюси), което води до [[Мероморфна функция|мероморфната функция]], която наричаме гама-функция. Тя няма нули, така че реципрочната гама-функция {{math|1/Γ(''z'')}} е [[холоморфна функция]]. Всъщност, гама-функцията съответства на [[трансформация на Мелин|трансформацията на Мелин]] на отрицателна [[експоненциална функция]]:

:<math> \Gamma(z) = \{ \mathcal M e^{-x} \} (z)</math>

Гама-функцията е компонента в различни функции за разпределение на вероятностите, като например тези, които се използват в областите на [[Теория на вероятностите|теорията на вероятностите]], [[статистика]]та и [[комбинаторика]]та.

== Определение ==
=== Основно определение ===
Нотацията {{math|Γ(''z'')}} е създадена от [[Адриан-Мари Льожандър|Льожандър]].<ref name="Davis" /> Ако реалната част на комплексното число {{math|''z''}} е положителна ({{math|Re(''z'') > 0}}), тогава интегралът

:<math> \Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\, dx</math>

е [[Абсолютна сходимост|абсолютно сходящ]] и е също познат като [[Ойлеров интеграл]] от втори род.<ref name="Davis" /> Използвайки [[интегриране по части]]:

:<math>
\begin{align}
\Gamma(z+1) & = \int_0^\infty x^{z} e^{-x} \, dx \\
& = \left[-x^z e^{-x}\right]_0^\infty + \int_0^\infty z x^{z-1} e^{-x}\, dx \\
& = \lim_{x\to \infty}(-x^z e^{-x}) - (0 e^{-0}) + z\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\, dx
\end{align}
</math>

Вземайки предвид, че <math>x\to \infty, -x^z e^{-x}\to 0,</math>
:<math>
\begin{align}
\Gamma(z+1) & = z\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\, dx \\
& = z\Gamma(z)
\end{align}
</math>

Може да се изчисли <math>\Gamma(1)</math>:
:<math>
\begin{align}
\Gamma(1) & = \int_0^\infty x^{1-1} e^{-x}\,dx \\
& = \left[-e^{-x}\right]_0^\infty \\
& = \lim_{x\to \infty}(-e^{-x}) - (-e^{-0}) \\
& = 0 - (-1) \\
& = 1
\end{align}
</math>

Предвид, че <math>\Gamma(1) = 1</math> и <math>\Gamma(n+1) = n\Gamma(n) </math>
:<math>\Gamma(n) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) = (n-1)!\,</math>

за всички положителни цели числа <math>n</math>. Това може да се счете за пример на доказателство чрез [[Математическа индукция|индукция]].

Тъждеството <math>\Gamma(z) = \frac {\Gamma(z + 1)} {z}</math> може да се използва за да се разшири интегралната формулировка за <math>\Gamma(z)</math> до мероморфна функция, определена за всички комплексни числа <math>z</math>, освен за числа, по-малки или равни на нула.<ref name="Davis" />

Обикновено, именно под тази разширена версия се разбира гама-функция.<ref name="Davis" />

=== Други определения ===
==== Определение на Ойлер като безкрайно произведение ====
Когато се търси приближение на {{math|''z''!}} за комплексно число {{math|''z''}}, се оказва, че е ефективно първо да изчисли {{math|''n''!}} за някакво голям число {{math|''n''}}, след което да се използва това за приближение на стойност за {{math|(''n''+''z'')!}}, а след това се използва рекурсивна връзка {{math|1={{math|''m''!}} = ''m'' {{math|(''m''−1)!}}}} назад {{math|''n''}} пъти, за да се развие приближение за {{math|''z''!}}. Освен това, тази апроксимация е точна в граници, когато {{math|''n''}} нараства към безкрайност.

По-конкретно, за определено цяло число {{mvar|m}}, важи
:<math>\lim_{n \to \infty} \frac{n! \; (n+1)^m}{(n+m)!} = 1\,</math>

и може да се провери дали същата формула важи, когато произволно цяло число {{mvar|m}} се замени с произволно комплексно число {{mvar|z}}

:<math>\lim_{n \to \infty} \frac{n! \; (n+1)^z}{(n+z)!} = 1\,.</math>

Умножавайки и двете страни по {{math|''z''!}}, получаваме

:<math>\begin{align}
   z! &= \lim_{n \to \infty} n!\frac{z!}{(n+z)!} (n+1)^z \\
      &= \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdots n}{(1+z) \cdots (n+z)} (n+1)^z \\
      &= \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdots n}{(1+z) \cdots (n+z)} \left[\left(1+\frac11\right)\left(1+\frac12\right)\cdots \left(1+\frac1n\right)\right]^z \\
      &= \prod_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{1}{1+\frac{z}{n}} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^z \right].
 \end{align}</math>

Това [[безкрайно произведение]] е сходимо за всички комплекси числа {{mvar|z}}, освен за отрицателните числа, при които рекурсивната връзка {{math|1={{math|''m''!}} = ''m'' {{math|(''m''−1)!}}}} назад чрез стойността {{math|1=''m'' = 0}} включва деление на нула.

Подобно за гама-функцията, определението като безкраен продукт на [[Ойлер]] е валидно за всички комплексни числа <math>z</math>, освен за неположителни числа:

:<math>\Gamma(z) = \frac{1}{z} \prod_{n=1}^{\infty} \frac{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}} \,.</math>

Чрез това построение, гама-функцията е уникалната функция, която едновременно удовлетворява <math>\Gamma(1) = 1</math>, <math>\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)</math> за всички комплексни числа <math>z</math>, освен за неположителни числа, и <math>\lim_{n \to \infty} \frac{\Gamma(n+z)}{(n-1)!\;n^z} = 1</math> за всички комплексни числа <math>z</math>.<ref name="Davis"/>

==== Определението на Вайерщрас ====
Определението на гама-функцията от [[Карл Вайерщрас]] е също валидно за всички комплексни числа {{math|''z''}}, освен за неположителни числа:

:<math>\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}} z \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac z n \right)^{-1} e^{z/n}</math>
където <math>\gamma \approx 0.577216</math> е [[Константа на Ойлер – Маскерони|константата на Ойлер – Маскерони]].<ref name="Davis" />

==== По отношение на обобщените полиноми на Лагер ====
Параметризация на непълната гама-функция по отношение на обобщените полиноми на Лагер е:

:<math>\Gamma(z,x)=x^z e^{-x} \sum_{n=0}^\infty \frac{L_n ^{(z)}(x)}{n+1},</math>
което е сходимо за <math>\operatorname{Re}(z) > -1</math> и <math>x>0</math>.<ref>{{cite book|first=R. A.|last= Askey|first2= R.|last2= Roy |id=8.7 |title=Series Expansions|ref=none}}</ref>

Нестандартна параметризация на гама-функцията по отношение на полиномите на Лагер е:

:<math>\Gamma(z)=t^z \sum_{n=0}^{\infty} \frac{L_n^{(z)}(t)}{z+n}\,</math> което е сходимо за Re(''z'')&nbsp;<&nbsp;1/2.

== Свойства ==
=== Общи ===
Други важни функционални уравнения за гама-функцията са формулата на отражението на Ойлер

:<math>\Gamma(1-z) \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}}, \qquad z \not\in \mathbb Z</math>

която предполага

:<math>\Gamma(\varepsilon - n) = (-1)^{n-1} \; \frac{\Gamma(-\varepsilon) \Gamma(1+\varepsilon)}{\Gamma(n+1-\varepsilon)},</math>

и дупликационната формула

:<math>\Gamma(z) \Gamma\left(z + \tfrac12\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).</math>

Дупликационната формула е особен случай на теоремата за мултиплициране.

:<math>\prod_{k=0}^{m-1}\Gamma\left(z + \frac{k}{m}\right) = (2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} \; m^{\frac12 - mz} \; \Gamma(mz).</math>

Просто, но полезно свойство, което може да се забележи от определянето на границите, е:

:<math>\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z}) \; \Rightarrow \; \Gamma(z)\Gamma(\overline{z}) \in \mathbb{R} .</math>

В частност, с {{math|''z'' {{=}} ''a''+''bi''}}, това произведение е:

:<math>|\Gamma(a+bi)|^2 = |\Gamma(a)|^2 \prod_{k=0}^\infty \frac{1}{1+\frac{b^2}{(a+k)^2}} </math>
:<math>|\Gamma(bi)|^2 = \frac{\pi}{b\sinh{(\pi b)}}</math>
:<math>|\Gamma\left(\tfrac{1}{2}+bi\right)|^2 = \frac{\pi}{\cosh{(\pi b)}}</math>

Може би най-известната стойност на гама-функцията при аргумент, който не е цяло число, е:

:<math>\Gamma\left(\tfrac12\right)=\sqrt{\pi},</math>

което може да бъде намерено чрез полагане на {{math|''z'' {{=}} {{sfrac|1|2}}}} в дупликационанта формула или формулата на отражението, използвайки връзката с [[бета-функция]]та, дадена по-долу с {{math|''x'' {{=}} ''y'' {{=}} {{sfrac|1|2}}}}, или просто замествайки {{math|''u'' {{=}} {{sqrt|''x''}}}} в интегралното определение на гама-функцията, което води до [[Гаусов интеграл]]. По принцип, за неотрицателни стойности на {{math|''n''}} имаме:

:<math>\begin{align}
\Gamma\left(\tfrac12+n\right) &= {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = \frac{(2n-1)!!}{2^n} \sqrt{\pi} = {n-\frac12 \choose n} n! \sqrt{\pi} \\
\Gamma\left(\tfrac12-n\right) &= {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi} = \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!} \sqrt{\pi} = \frac{\sqrt{\pi}}{{-\frac12 \choose n} n!}
\end{align}</math>

където {{math|''n''!!}} обозначава двойния факториел на ''n''.

Може да е примамливо резултатът да се обобщи до {{math|Γ({{sfrac|1|2}}) {{=}} {{sqrt|π}}}}, търсейки формула за други индивидуални стойности {{math|Γ(''r'')}}, при които {{math|''r''}} е [[рационално число]]. Обаче, тези числа не са изразими сами по себе си по отношение на елементарните функции. Доказано е, че {{math|Γ(''n'' + ''r'')}} е [[трансцендентно число]] и алгебрическо независимо от {{math|π}} за всяко цяло число {{math|''n''}} и за всяка от дробите {{math|''r'' {{=}} {{sfrac|1|6}}, {{sfrac|1|4}}, {{sfrac|1|3}}, {{sfrac|2|3}}, {{sfrac|3|4}}, {{sfrac|5|6}}}}.<ref>{{cite journal|last=Waldschmidt |first=M. |date=2006 |url=http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/TranscendencePeriods.pdf |title=Transcendence of Periods: The State of the Art |journal=Pure Appl. Math. Quart. |volume=2 |issue=2 |pages=435 – 463 |doi=10.4310/pamq.2006.v2.n2.a3}}</ref> По принцип, при изчисляването на стойности на гама-функция, е добре да се използват числени приближения.

Друга полезна граница за асимптотично приближение е:

:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{\Gamma(n+\alpha)}{\Gamma(n)n^{\alpha}} = 1, \qquad \alpha \in \mathbb{C} </math>

Производните на гама-функцията се описват по отношение на [[полигама-функция]]. Например:

:<math>\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z).</math>

За положително цяло число {{math|''m''}} производната на гама-функцията може да бъде изчислена така:

:<math>\Gamma'(m+1) = m! \left( - \gamma + \sum_{k=1}^m\frac{1}{k} \right)\,.</math>

[[Файл:DerivGamma.png|мини|Производна на функцията {{math|Γ(''z'')}}.]]

Тук {{math|''γ''}} е константата на Ойлер – Маскерони. За {{math|Re(''x'') > 0}}, {{math|''n''}}-тата производна на гама-функцията е:

:<math>\frac{d^n}{dx^n}\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} (\ln t)^n \, dt.</math>

Използвайки тъждеството
:<math>\Gamma^{(n)}(1)=(-1)^n n!\sum\limits_{\pi\,\vdash \, n}\,\prod_{i=1}^r\frac{\zeta^*(a_i)}{k_i!\cdot a_i} \qquad \zeta^*(x):=\begin{cases}\zeta(x)&x\ne1\\ \gamma&x=1\end{cases}</math>

където {{math|''ζ''(''z'')}} е [[дзета-функция на Риман]] с части
:<math>\pi=(\underbrace{a_1,\dots,a_1}_{k_1},\dots,\underbrace{a_r,\dots,a_r}_{k_r}),</math>

се получава

:<math>\Gamma(z) = \frac1z - \gamma + \tfrac12\left(\gamma^2 + \frac {\pi^2}6\right)z - \tfrac16\left(\gamma^3 + \frac {\gamma\pi^2}2 + 2 \zeta(3)\right)z^2 + O(z^3).</math>

=== Формула на Стърлинг ===
[[Файл:Gamma1.png|мини|Представяне на гама-функцията в комплексна равнина. Всяка точка <math>z</math> е оцветена според аргумента на <math>\Gamma(z)</math>. Контурът на модула <math>|\Gamma(z)|</math> също е показан.]]
[[Файл:GammaAbsSmallPlot.svg|мини|[[Абсолютна стойност|Абсолютната стойност]] на гама-функцията върху комплексната равнина.]]

Поведението на <math>\Gamma(z)</math> за нарастваща положителна променлива е просто: функцията нараства бързо – по-бързо от експоненциална функция. Асимптотично докато <math>z\to \infty </math>, големината на гама-функцията се извежда от [[формула на Стърлинг|формулата на Стърлинг]]:

:<math>\Gamma(z+1)\sim\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z,</math>
където символът <math>\sim</math> означава, че отношението на двете страни е сходимо към 1<ref name="Davis"/> или е асимптотично сходимо.

=== Остатък ===
Поведението на функцията при неположителни <math>z</math> е по-сложно. Ойлеровият интеграл не е сходящ за <math>z \le 0</math>, но функцията, която определя в положителната комплексна равнина, има уникално аналитично продължение към отрицателната равнина. Един начин да се намери това аналитично продължение е да се използва интеграла на Ойлер за положителни аргументи и да се разшири областта до отрицателните числа чрез постоянно прилагане на рекурсивната формула,<ref name="Davis"/>

:<math>\Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+n+1)}{z(z+1)\cdots(z+n)},</math>
избирайки такова <math>n</math>, че <math>z + n</math> да е положително. Произведението в знаменателя е нула, когато <math>z</math> е равно на кое да е от целите числа <math>0, -1, -2,\cdots</math>. Оттук, гама-функцията трябва да е неопределена в тези точки, за да се избегне деление на нула. Това е мероморфна фнукция с прости полюси при неположителни цели числа.<ref name="Davis"/>

Това определение може да бъде пренаписано така:

:<math>(z+n) \Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+n+1)}{z(z+1)\cdots(z+n-1)}.</math>

За функция <math>f</math> с комплексна променлива <math>z</math>, при прост полюс <math>c</math> [[остатък (комплексен анализ)|остатъкът]] на <math>f</math> се извежда чрез:

:<math>\operatorname{Res}(f,c)=\lim_{z\to c}(z-c)f(z).</math>

Когато <math>z = -n,</math>
:<math>\Gamma(z+n+1) = \Gamma(1) = 1</math>
и
:<math>z(z+1)\cdots(z+n-1) = (-1)^n n!</math>
Така че, остатъците на гама-функцията в тези точки са:
:<math>\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.</math>

Гама-функцията е ненулева навсякъде по дължина на реалната ос, макар че става произволно близка до нула, докато {{math|''z'' → −∞}}. Всъщност, не съществува комплексно число <math>z</math>, за което <math>\Gamma (z) = 0</math> и следователно реципрочната гама-функция <math>\frac {1}{\Gamma (z)}</math> е [[цяла функция]] с нули при <math>z = 0, -1, -2, \cdots</math>.<ref name="Davis">{{cite journal|last=Davis |first=P. J. |date=1959 |title=Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function |journal=American Mathematical Monthly |volume=66 |issue=10 |pp=849 – 869 |url=http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=3104 |accessdate=3 декември 2016 |doi=10.2307/2309786}}</ref>

=== Минимуми ===
Гама-функцията има [[локален минимум]] при <math>z_{\mathrm{min}} \approx 1,46163</math>, където достига стойност от <math>\Gamma\left(z_{\mathrm{min}}\right) \approx 0,885603</math>. Гама-функцията трябва да има редуващ се знак между полюсите, защото произведението в напредващата рекурсивност съдържа нечетен брой отрицателни коефициенти, ако броят полюси между <math>z</math> и <math>z + n</math> е нечетен, и четен брой, ако броят полюси е четен.

=== Разширение чрез ред на Фуерие ===
Логаритъмът на гама-функцията има следното разширение чрез [[ред на Фурие]] за <math>0 < z < 1</math>:

:<math>\ln\Gamma(z) = \left(\frac{1}{2} - z\right)(\gamma + \ln 2) + (1 - z)\ln\pi - \frac{1}{2}\ln\sin(\pi z) + \frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n}\sin (2\pi n z),</math>

=== Формула на Раабе ===
През 1840 г. [[Йозеф Лудвиг Раабе]] доказва, че

:<math>\int_a^{a+1}\ln\Gamma(z)\, dz = \tfrac12\ln2\pi + a\ln a - a,\quad a>0.</math>
В частност, ако {{math|''a'' {{=}} 0}}, тогава
:<math>\int_0^1\ln\Gamma(z)\, dz = \tfrac12\ln2\pi.</math>

Тази формула се използва, когато искаме да получим сходима версия на формулата на Стърлинг. Използвайки пълното трапецоидно правило, може да се покаже, че

:<math>\ln \Gamma(1+z)=z \ln z -z +\tfrac12 \ln 2\pi z +\int_{0}^\infty \frac{2\arctan(\frac{t}{z})}{e^{2 \pi t} -1} \, dt </math>

=== Пи-функция ===
Алтернативна нотация, първоначално въведена от [[Карл Фридрих Гаус|Гаус]], е пи-функцията, която по отношение на гама-функцията е:

:<math>\Pi(z) = \Gamma(z+1) = z \Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t} t^z\, dt,</math>

така че {{math|Π(''n'') {{=}} ''n''!}} за всяко неотрицателно цяло число {{math|''n''}}.

Използвайки пи-функция, формулата на отражение приема формата

:<math>\Pi(z) \Pi(-z) = \frac{\pi z}{\sin( \pi z)} = \frac{1}{\operatorname{sinc}(z)}</math>

където {{math|sinc}} е нормализираната функция [[sinc]], докато теоремата за мултиплициране приема формата

:<math>\Pi\left(\frac{z}{m}\right) \, \Pi\left(\frac{z-1}{m}\right) \cdots \Pi\left(\frac{z-m+1}{m}\right) = (2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} m^{-z-\frac12} \Pi(z).</math>

Понякога може да се намери и

:<math>\pi(z) = \frac{1}{\Pi(z)},</math>

което е цяла функция, определена за всяко комплексно число, също както и реципрочната гама функция. Това, че <math>\pi\left(z\right)</math> е цяла, ще рече, че няма полюси, така че <math>\Pi\left(z\right)</math>, също както и <math>\Gamma\left(z\right)</math>, няма нули.

Обемът на ''n''-елипсоид с радиуси {{math|''r''{{sub|1}}, …, ''r''{{sub|n}}}} може да бъде изразен като

:<math>V_n(r_1,\dotsc,r_n)=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Pi\left(\frac{n}{2} \right)} \prod_{k=1}^n r_k.</math>

=== Определени стойности ===
Някои определени стойности на гама-функцията са:

:<math>\begin{array}{rcccl}
\Gamma\left(-\tfrac{3}{2}\right) &=& \tfrac{4}{3} \sqrt{\pi} &\approx& 2.363\,271\,801\,207 \\
\Gamma\left(-\tfrac{1}{2}\right) &=& -2\sqrt{\pi} &\approx& -3.544\,907\,701\,811 \\
\Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right) &=& \sqrt{\pi} &\approx& 1.772\,453\,850\,906 \\
\Gamma(1) &=& 0! &=& 1 \\
\Gamma\left(\tfrac{3}{2}\right) &=& \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} &\approx& 0.886\,226\,925\,453 \\
\Gamma(2) &=& 1! &=& 1 \\
\Gamma\left(\tfrac{5}{2}\right) &=& \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi} &\approx& 1.329\,340\,388\,179 \\
\Gamma(3) &=& 2! &=& 2 \\
\Gamma\left(\tfrac{7}{2}\right) &=& \tfrac{15}{8}\sqrt{\pi} &\approx& 3.323\,350\,970\,448 \\
\Gamma(4) &=& 3! &=& 6
\end{array}</math>

Гама-функцията с комплексни стойности е неопределена за неположителни числа, но в тези случаи стойността може да се определени в [[Риманова сфера]] като {{math|∞}}. Реципрочната гама функция е точно определена и аналитична при този стойности (и в цялата комплексна равнина):

:<math>\frac{1}{\Gamma(-3)} = \frac{1}{\Gamma(-2)} = \frac{1}{\Gamma(-1)} = \frac{1}{\Gamma(0)} = 0.</math>

== Източници ==
<references/>

[[Категория:Специални функции]]